Aplicativo Circuito Literal para Laplace

[MOR_AL]

Olá pessoal!
Há alguns dias decidi ver se obtinha na Net a equação, via Laplace, do circuito de um filtro duplo-T.
Bom. Esse filtro é bem conhecido e tem de montão na Net. Só que esses circuitos consideram, que a fonte de sinal de entrada do filtro possui impedância nula e a carga possui impedância infinita. Tal situação não é usual. As fontes de sinal não possuem impedâncias nulas e as cargas não possuem impedância infinita.
Depois de muito procurar e não encontrar o circuito que considerasse tanto a impedância da fonte não nula e a de carga não infinita, decidi calcular a tal função de transferência.
O circuito é o da figura "Duplo_T".
Observar a existência de Rg e de R0.

Bom. Não foi fácil. Quando cheguei na página 9 de desenvolvimento (já passado tudo a limpo) parei...
A equação é uma razão de dois polinômios. O numerador em s3 e o denominador em s4. Ôpa!!! s4? Caramba, um circuito com três componentes reativos (3 capacitores), que não se encontram nem em série e nem em paralelo (dois deles ou mesmo os três), não deveria ter componente em s4.
Será que eu errei em alguma passagem?
Botei todos os meus neurônios para relembrar a teoria (cada termo em s tem sua própria dimensão de reatância).
RErererefiz todos os cálculos desde o começo. Encontrei diversos enganos e corrigi todos eles, pois cada termo em s4, s3, s2, s1 e s0, tanto do numerador como do denominador conferiam com a dimensão esperada. Mas e o maldito termo em s4 do denominador? Ele não deveria existir, pô! Quebrei a cabeça, pois agora era uma questão de amor próprio ferido (teimosia brava para os colegas). Até que, em dado momento me veio a luz... Se o termo em s4 está lá, então ele deve ser nulo.
O detalhe é que a equação 17, a que descreve V0(s) / Vg(s), ficou tão grande, que a descrevi pelos termos em s4, s3, s2, s1 e s0, para o numerador e denominador.
Para se ter uma ideia, a equação V0(s) / Vg(s) é igual a (1/Rg) * B / (AD - BC) -->

V0(s) / Vg(s) = (1/Rg) * B / (AD - BC), onde:

B tem termos em s3, s2, s1 e s0
A tem termos em s2, s1 e s0
D tem termos em s2, s1 e s0
C tem termos em s1 e s0...... Observar que (AD - BC) terá termos em s4.

Esta equação foi escrita, da forma indicada, em duas páginas, já que quase todos os termos em s são formados pela soma de produto dos elementos do circuito.
Para verificação parcial da equação, sabe-se que:
1 - O termo em s4 TEM que ser zero. O que foi provado.
2 - Quando s tende a zero, pelo circuito, significa que os três capacitores são circuitos abertos. A equação fica um divisor resistivo. O que também foi provado.
3 - Quando s tende a infinito, pelo circuito, significa que os capacitores são curto-circuito. A equação fica outro divisor resistivo. O que também foi provado.
Tudo leva a crer que o resultado esteja correto.

Agora é que vem o porém....

A ideia é, saber dar valores aos componentes de modo que eu obtenha um filtro que ou atenue, ou dê ganho em uma frequência de ressonância. Gostaria de controlar também o Q do circuito.
Para tal tenho que partir dos dois polinômios em s3 e convertê-los em um produto de um polinômio em s e outro em s2 e identificar as raízes dos dois polinômios.
Se os coeficientes fossem simples, formados por um ou dois componentes, as raízes poderiam ser conhecidas (após um certo trabalho). Mas ocorre que os coeficientes são compostos por quase todos os componentes na forma de soma de produto deles. Aí fica impossível (pelo menos para mim) calcular.

Uma vez que vocês tomaram conhecimento do meu problema e concordam que seja um trabalhão, ainda assim acho que nem devo ter chegado na metade dele. Depois dessa dissertação toda é que vem a pergunta...

Alguém conhece um aplicativo, que à partir de componentes literais (sem valores ainda determinados) chegue à tal equação V0(s) / Vg(s) na forma de produto de termos em s e s2, ou seja (s - a) * (s - b +jc) * (s - b - jc), tanto no numerador como no denominador?

Caso alguém deseje ver o desenvolvimento até onde cheguei, é só pedir. Não coloquei porque, além de grande, não tem importância para a minha pergunta.
Sinceramente, não espero que tenha um louc... ehr, alguém que possa ter conhecimento de tal aplicativo, mas como a esperança é a última que morre... talvez esse aplicativo exista.
Em tempo:
Os aplicativos que resolvem circuitos somente os fazem caso os valores dos componentes (os coeficientes) sejam numericamente conhecidos e determinados.
MOR_AL

[KrafT]

Matlab, simulink e wolfram vc já deve ter descartado... É o que minha ignorância consegue associar à tua questão...

[MOR_AL]

Matlab, simulink e wolfram vc já deve ter descartado... É o que minha ignorância consegue associar à tua questão...

Pelo que eu sei, sim, eles calculam o circuito com os coeficientes numéricos (valores numéricos) e não com coeficientes literais R, L, Cs.
Imagine um aplicativo que você entre com o circuito mostrado, mas sem os valores e sim com Rg, R0, C1, C2, C3, R1, R2 e R3, e ele te forneça o polinômio com os coeficientes em função dos componentes Rg, R0, C1, C2, C3, R1, R2 e R3. Mais ainda. Na forma de produto de modo a que se conheçam as raízes dos polinômios.
Cheguei até aqui, como na figura.

MOR_AL

[andre_luis]

wolfram vc já deve ter descartado...

Esse é fantástico, talvez resolva o problema dele.

Alguém conhece um aplicativo, que à partir de componentes literais (sem valores ainda determinados) chegue à tal equação V0(s) / Vg(s) na forma de produto de termos em s e s2, ou seja (s - a) * (s - b +jc) * (s - b - jc), tanto no numerador como no denominador?

Isso não deixaria de ser um numero complexo ?
Tanto quanto sei, multiplicação de conjugado dá numero real; se minhas contas estão certas, seria algo do tipo:

E tirando as raizes da equação de 2o grau daria isso:

Estou perdendo algo ?

[Red Neck Guy]

O Matlab resolve simbolico tambem.
Ja fiz um programa que calculava a funcao de transferencia com base nos parametros do circuito.
Perdi esse codigo-fonte, mas lembro que na epoca encontrei tudo no proprio site.

[milordy]

Matlab, simulink e wolfram vc já deve ter descartado... É o que minha ignorância consegue associar à tua questão...

Pelo que eu sei, sim, eles calculam o circuito com os coeficientes numéricos (valores numéricos) e não com coeficientes literais R, L, Cs.
Imagine um aplicativo que você entre com o circuito mostrado, mas sem os valores e sim com Rg, R0, C1, C2, C3, R1, R2 e R3, e ele te forneça o polinômio com os coeficientes em função dos componentes Rg, R0, C1, C2, C3, R1, R2 e R3. Mais ainda. Na forma de produto de modo a que se conheçam as raízes dos polinômios.
Cheguei até aqui, como na figura.

MOR_AL

No matlab utilizando simbolicos,da para utilizar as variaveis,e também realizar simplificações,já utilizei bastante.
Aqui tem um material que pode ser o começo: http://www.mat.uc.pt/~alma/aulas/matcom ... ancado.pdf

[MOR_AL]

wolfram vc já deve ter descartado...

Esse é fantástico, talvez resolva o problema dele.
Certa ocasião mexi um pouco com esse aplicativo. Não procurava resolver este problema específico, mas achei muito mais trabalhoso de usar.

Alguém conhece um aplicativo, que à partir de componentes literais (sem valores ainda determinados) chegue à tal equação V0(s) / Vg(s) na forma de produto de termos em s e s2, ou seja (s - a) * (s - b +jc) * (s - b - jc), tanto no numerador como no denominador?

Isso não deixaria de ser um numero complexo ?
Tanto quanto sei, multiplicação de conjugado dá numero real; se minhas contas estão certas, seria algo do tipo:



E tirando as raizes da equação de 2o grau daria isso:



Estou perdendo algo ?

Está correto!
Ao medir a resposta do filtro, você mede valores reais de tensão ou de corrente. Por isso é que se calcula o módulo da função de transferência, substituindo o s por jw. A escolha das raízes complexas permite conhecer o Q (fator de mérito), ou o qsi do circuito, que dá a mesma informação. Programando seu filtro com Q ou qsi determinado, permite conhecer o ganho ou atenuação na frequência desejada.
Em tempo: Na sua expressão, o a é o qsi vezes w0 e o b é w0.

Usando as equações mostradas na segunda figura, imagine o trabalho que daria para escrever v0(s) / vg(s) de forma literal e como produto das raízes.
MOR_AL

[MOR_AL]

O Matlab resolve simbolico tambem.
Ja fiz um programa que calculava a funcao de transferencia com base nos parametros do circuito.
Perdi esse codigo-fonte, mas lembro que na epoca encontrei tudo no proprio site.

Pôxa... Vou procurar, mas se você encontrar vou ficar muito grato.
Valeu.
MOR_AL

[MOR_AL]

....
No matlab utilizando simbolicos,da para utilizar as variaveis,e também realizar simplificações,já utilizei bastante.
Aqui tem um material que pode ser o começo: http://www.mat.uc.pt/~alma/aulas/matcom ... ancado.pdf

Putz!!! Sumiu toda a minha postagem.
Estava com umas 20 linhas.
Vou resumir:
1 - Dei uma olhada no link. Tem muita coisa boa, mas como as funções não foram feitas para resolver circuitos, eu teria que preparar as etapas intermediárias, as quais, acredito, que darão muito trabalho, quase tanto quanto se continuasse a fazer na mão.
2 - Sinceramente não acredito que possa ser (ainda) resolvido via qualquer aplicativo com um PC normal como o meu. Para validar esta minha colocação, vou escanear e fazer uma montagem da expressão literal da função de transferência. A figura que coloquei anteriormente não é a função já na forma destrinchada, pronta para se calcular as raízes.
3 - Posso simplificar o circuito, fazendo os capacitores com o mesmo valor e incluir uma relação entre o resistor da fonte Rg e o resistor de carga R0. Isso baixa o número de variáveis de 8 para 4.

Segue a função.
MOR_AL

[andre_luis]

Rapaz, será que não daria pra simplificar isso ai, sabendo que os filtros são calculados com valores simétricos nos componentes C1≡C2 e R1≡R2 ? Outra coisa que surgiu á mente - sem pensar muito nas consequencias, mas será que não daria pra ter reduzido a quantidade de nós do circuito fazendo a conversão estrela→delta ? Também gosto de usar a força-bruta pra inferir algumas coisas, mas pra outras pode haver um atalho, enfim...

[MOR_AL]

Rapaz, será que não daria pra simplificar isso ai, sabendo que os filtros são calculados com valores simétricos nos componentes C1≡C2 e R1≡R2 ?

É claro que dá para simplificar e certamente é isso que vou fazer, depois de chegar ao resultado parcial tão pesado.
A primeira coisa que farei é considerar C1 = C2 = C3 = C e Rg = R0/10. Como mostrei antes, as variáveis caem de 8 para 4.
Aí vou analisar se continuo a simplificar, fazendo Rg = 0 e R0 = infinito. É que eu queria fazer tudo com transistores, pois a ideia é alimentar tudo com 1,5Vcc, mas funcionando até 1,3Vcc. Para Rg = 0 teria que acrescentar mais um transistor em configuração coletor comum. Para R0 tendendo a infinito, teria que acrescentar mais um transistor, com a mesma configuração. Engraçado isso, né?

Outra coisa que surgiu á mente - sem pensar muito nas consequencias, mas será que não daria pra ter reduzido a quantidade de nós do circuito fazendo a conversão estrela→delta ?

Isso funciona para circuitos mais simples. Acompanhe o meu raciocínio. É inegável que a função v0(s) / vg(s) TEM que dar aquela função enorme, certo?
Então a conversão também teria que dar um resultado igual. Em outras palavras, não haveria como fugir deste resultado, qualquer que fosse o método empregado. Talvez conseguisse uma pequena simplificação de tarefas, mas... sei lá. Agora já cheguei até aqui. Vou partir para a simplificação mesmo.

Também gosto de usar a força-bruta pra inferir algumas coisas, mas pra outras pode haver um atalho, enfim...

Na verdade eu não fazia ideia do tamanho que essa tarefa daria.
Acho que é por isso que nos livros de filtros, os autores consideram componentes capacitivos, ou às vezes resistivos, com o mesmo valor. E como costumam ser implementados com operacionais, consideram Rg = 0 e R0 = infinito.

Tem um outro método, que segue o procedimento contrário. Ao invés de análise do circuito dado, que até pode não chegar à função desejada, se parte para a síntese da função de transferência desejada. Primeiramente, a função tem que ser PR (Positiva e Real) para poder ser implementada com componentes passivos. Só isso já é um parto. Você começa com a função de transferência desejada e vai trabalhando, tirando uma a uma, impedâncias da função, desde o gerador até a carga, até que sobre somente a carga R0. Com esse método se obtém resistores, capacitores e INDUTORES. Estudei isso já há muitos anos. Além de ter que recordar, não me lembro se podia sintetizar somente com resistores e capacitores, já que sintetizar indutores com componentes ativos (cada indutor usa 2 operacionais) está fora do escopo do projeto.

Por fim, seria muito bom, se alguém ou alguma empresa, criasse um aplicativo de resolução de circuitos na forma literal. Como ferramentas teriam que usar algumas funções do Matlab, que o Aquino lembrou.

Em tempo:
Como o denominador da função mostrada nas duas últimas imagens, são compostos pela subtração de termos em s3, s2, s1 e de s0, pode ser que pouca, alguma ou muita coisa suma. Seria um desperdício de trabalho, caso eu partisse para a simplificação antes de verificar.
Caso haja uma boa simplificação, talvez a sugestão do André (conversão estrela→delta) fosse o caminho-das-pedras neste rio imenso.

MOR_AL

[eletroinf]

Pois então, eu não tive tempo pra fazer um estudo desse assunto postado, mas já que estão falando em matemática simbólica, conheço algumas pessoas que usam o MathCad pra resolver este tipo de problema.
https://www.ptc.com/en/products/mathcad

Claro, é um software pago...

botei no google uma pesquisa relacionada a Python, parece que tem também:
http://www.sympy.org/pt/index.html

Mas não conheço nada, são só ideias.

[andre_luis]

Por fim, seria muito bom, se alguém ou alguma empresa, criasse um aplicativo de resolução de circuitos na forma literal. Como ferramentas teriam que usar algumas funções do Matlab, que o Aquino lembrou.

Olha, já no final da década de 90, tinha um programa excelente que fazia solução de equações de modo simbólico, não lembro se o nome era Maple ou Mathematica, mas um desses dois aí fazia deduções que pareciam vir de outro mundo; podia resultar em expressões com várias linhas.

[tcpipchip]

Nos finais dos anos 80 eu mexi com o EUREKA, da BORLAND

[MOR_AL]

Pois então, eu não tive tempo pra fazer um estudo desse assunto postado, mas já que estão falando em matemática simbólica, conheço algumas pessoas que usam o MathCad pra resolver este tipo de problema.
https://www.ptc.com/en/products/mathcad

Claro, é um software pago...

botei no google uma pesquisa relacionada a Python, parece que tem também:
http://www.sympy.org/pt/index.html

Mas não conheço nada, são só ideias.

Já conhecia o MathCad há muito tempo, mas não tive mais contato com o aplicativo. É excelente. Pesquisei e não encontrei resolução de circuitos literais.
Quanto ao Python, simplesmente só ouvi falar.

Já pesquisei bastante na net (literal circuit analysis; symbolic circuit analysis, etc). Nada!!!
MOR_AL